Один из математиков, решивших «задачу пятидесятилетия», рассказал, что помогло им в работе

Нижегородские математики Иван Ремизов и Олег Галкин решили задачу, поставленную 57 лет назад, при помощи знаний психологии

Математики из Нижнего Новгорода Иван Ремизов и Олег Галкин, представляющие Высшую школу экономики, решили задачу, над которой их коллеги со всего мира бились 57 лет! Им впервые удалось теоретически описать, как быстро в теореме американского математика Пола Чернова приближенные значения сойдутся к точному результату в зависимости от выбранных параметров. Сразу отмечу, что предыдущее предложение – крайне упрощенное объяснение сложнейших математических формулировок ученых, а потому мы попросили одного из них, Ивана Ремизова, помочь нам хоть немного приблизиться к пониманию результата их труда.

тестовый баннер под заглавное изображение

Во многих задачах теоретической физики и математики требуется точное вычисление сложных специфических значений – так называемых полугрупп операторов. Приведем лишь самые простейшие из таких задач: как быстро остывает чашка кофе, как быстро распространяется тепло в двигателе или как ведет себя квантовая частица. Путь к наиболее эффективному решению этих задач уже занял десятилетия.

– Иван, введите для начала наших читателей в историю вопроса.

— Ученым с начала 1930-х было известно, что для вычисления точных значений, к примеру, в начавшей тогда развиваться квантовой физике, нужны вычисления такого математического объекта, как полугруппа операторов, – говорит Иван Ремизов. – Полугруппа операторов – это сложные конструкции, описывающие эволюцию многочастичных систем. Если мы для системы знаем полугруппу, то можем для каждого начального состояния системы предсказать все будущие состояния системы. Образно можно сказать, что полугруппа системы – это её судьба: у каждой системы ровно одна полугруппа и она указывает, что случится с системой от текущего момента и до конца её существования. Также справедливо будет считать, что полугруппа операторов – это обобщение школьного понятия «экспонента» на случай бесконечной размерности.

В случае очень сложных систем, описываемых так называемыми неограниченными операторами, стандартные методы вычисления полугрупп перестают работать. Решение этой проблемы предложил в 1968 году американский математик Пол Чернов. Его метод основан на последовательных приближениях – шагах, с каждым из которых результат становится точнее. Приближения Чернова основаны на функции Чернова. То есть, вместо нахождения полугруппы (что является сложной задачей) можно найти сперва функцию Чернова (более простая задача), а потом по ней построить сколь угодно точные приближения к полугруппе. Таким образом, способ нахождения полугруппы операторов Полом Черновым был найден в 1968 году. Но насколько быстро эти шаги приводят к результату, до сих пор было неясно, хотя исследования велись учёными по всему миру.

– В этом и заключалась задача 57-летней давности, которую вам требовалось решить? – спрашиваю я Ивана Ремизова.

— Да, мы нашли условия, при выполнении которых можно узнать, какую скорость сходимости даст та или иная функция Чернова. Именно об этом мы сделали 5 июля доклад на Международной конференции «Теория функций и ее приложения». Результаты нашей работы также были опубликованы в журнале Israel Journal of Mathematics. Метод Пола Чернова гарантировал, что последовательные приближения в итоге приведут к правильному ответу, но не показывал, с какой скоростью это произойдет. Именно эта неопределенность мешала применять метод на практике. Мы с Олегом Галкиным нашли условия, которые здесь важны, – а именно, что нужно у функции Чернова, условно, попросить, чтобы она показывала хорошую скорость приближения. Таким образом мы создали теорему, которую можно считать «усилением» теоремы Чернова. И благодаря ей можно строить такие функции Чернова – потому что хотя бы ясно, каким условиям должна удовлетворять функция Чернова для того, чтобы скорость приближения была высокой.

– А можно ли дать какое-то образное объяснение? Так сказать, «для домохозяек»?

— Когда меня просят объяснить суть нашего открытия проще, я сравниваю ситуацию с кулинарным рецептом. Пол Чернов в 1968 году указал необходимые шаги, но не объяснил, как именно подобрать оптимальные ингредиенты — так называемые вспомогательные функции Чернова, от которых зависит результат. Поэтому нельзя было точно предсказать, с какой скоростью будет готово блюдо. На протяжении 57 лет каждый готовил, как мог. Мы доработали этот рецепт и определили, какие ингредиенты подходят лучше всего и сколько времени требуется на приготовление блюда. Теперь, пользуясь нашим рецептом, НИИ по всему миру смогут готовить блюдо «полугруппа операторов» быстрее.

– Могли бы вы на каком-то простом примере показать, как могла бы быть применима эта формула.

– Работа эта – теоретическая, но, безусловно, в будущем ей можно будет найти применение везде, где требуются полугруппы операторов. Там, где требуется расчет будущих состояний линейной динамической системы. Это может пригодиться в термодинамике, в квантовой механике и квантовой информатике, в теории управления, в транспортных задачах.

– Можно объяснить метод на примере с чашкой остывающего кофе?

— Вычисление полугруппы для этой термодинамической системы позволяет предсказать будущее всех профилей температур: какая будет температура кофе через минуту, через час, через день. При этом чашка может быть нагрета неравномерно, может присутствовать внешний подогрев или охлаждение. Если полугруппа известна, то по любому начальному распределению температур можно узнать будущие распределения путём расчётов, а не путём ожидания и наблюдения.

– Как долго вы работали над решением этой задачи?

– Довольно долго. И знаете, отчасти нам помогла моя вторая специальность – практикующий психолог-психотерапевт.

– То есть, от психологии можно провести прямой мостик к решению теоремы Чернова?

– Прямого мостика нет, но я представлял, кто эти задачи решал раньше. Думал, почему у них не получилось, и строил свои решения в другой плоскости. Главная мысль такая: они все очень умные и очень квалифицированные люди, поэтому все использовали мощные продвинутые техники. Я в итоге и предположил, что у них не получается найти правильный ответ, потому что они просто не могли себе представить, что результат можно получить более простым путем, и в результате простой путь так и оставался все эти годы не исследован. Поэтому я начал решать задачу простым путём и продвинулся. А потом попросил Олега Галкина помочь и мы вместе доказали теорему. Ключевой момент доказательства – простая алгебраическая формула для выражения X^n-Y^n, которую я называю разложением Галкина, подробнее можно посмотреть в нашей научной статье.

Источник: www.mk.ru